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        [■数学爆强公式集中营■]秒杀填空选择!

        1■,适用条件:[直线过焦点],必有 ecosA=(x-1)/(x+1) ,其中 A 为直 线与焦点所在轴夹角,是锐角 。

        x 为分离比 ,必须大于 1。

        注上述公式适合一 切圆锥曲线。

        如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上), 用该公式; 如果外分(焦 点在所截线段延长线上),右边为(x+1)/(x-1),其他不变。

        2■,函数的周期性问题 (记忆三个 ) :1、若 f(x)=-f(x+k) ,则 T=2k ; 2、若 f(x)=m/(x+k) 不为 0) (m ,则 T=2k ;3、若 f(x)=f(x+k)+ f(x-k) ,则 T=6k 。

        注意点:a.周期函数,周期必无限 b.周期函数未必存 在最小周期 ,如:常数函数 。

        c.周期函数加周期函数未必是周期函数,如:y =sinx y=sin 派 x 相加不是周期函数。

        3■,关于对称问题●(无数人搞不懂的问题)● 总结如下:1,若在 R 上(下 同)满足:f(a+x)=f(b-x)恒成立, 对称轴为 x=(a+b)/2 ;2、函 数 y=f(a+x) 与 y=f(b-x)的图像关于 x=(b-a)/2 对称; 3、若 f(a+x) +f(a-x)=2b ,则 f(x)图像关于(a,b)中心对称 4■,函数奇?#22841;?1、对于属于 R 上的奇函数有 f(0)=0 ;2、对于含参函数, 奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项 3,奇?#22841;?#20316;用不大,一般用于选择 填空 5■,数列 爆强定律:1,等差数列中:S 奇=na 中,例如 S13=13a7(13 和 7 为下角标) ;2 等差数列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差 3, 等比数列中, 上述 2 中 各项在公比不为负一?#32972;?#31561;比, q=-1 时, 在 未必成立 4, 等比数列爆强公式:S(n+m)=S(m)+q^m S(n) 可以迅速求 q 6■, 数列的终极利器,特征根方程。

        (如果看不懂就算了) 。

        首先介绍公式:对 于 an+1=pan+q (n+1 为下角标, 为下角标) a1 已知, n , 那么特征根 x=q/(1 -p) ,则数列通项公式为 an=(a1-x)p^(n-1)+x ,这是一阶特征根方 程的运用。

        二阶有点麻?#24120;?#19988;不常用。

        所?#22278;?#36184;述。

        希望同学们牢记上述公式。

        ?#27604;?#36825;种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7■,函数详解补充:1、复合函数奇?#22841;裕?#20869;偶则偶,内奇同外 2,复合函数单 调性:同增异减 3,●重点知识●关于三次函数:恐怕没有多少人知道三次函数 曲线其实是中心对称?#22841;巍?/p>

        它有一个对称中心,求法为二阶导后导数为 0,根 x 即为中心横坐标,纵坐标可以用 x 带入原函数界定。

        另外,必有唯一一条过该中 心的直线与两旁相切。

        8■,常用数列 bn=n×(2^n) 求和 Sn=(n-1)×(2^(n+1))+2 记忆方法: 前面减去一个 1,后面加一个,再整体加一个 2 9■,适用于标准方程(焦点在 x 轴)爆强公式:k ?#37073;?{ (b^2) xo}/{ (a^2) yo} k 双={ (b^2) xo}/{ (a^2)yo} k 抛=p/yo 注: (xo,yo)均为直线 过圆锥曲线所截段的中点。

        10■,强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技:已知直线 L1:a1x+b1y+c1 =0 直线 L2:a2x+b2y+c2=0 若它们垂直: (充要条件)a1a2+b1b2=0 ;若 它们平?#26657;?(充要条件)a1b2=a2b1 且 a1c2 ≠a2c1 [这个条件为了?#20048;?#20004;直线 重合) ●注:以上两公式避免了斜?#36866;?#21542;存在的麻?#24120;?#30452;接必杀! 11■,经典中的经典?#21512;?#20449;邻项相消大家都知道。

        下面看隔项相消:对于 Sn= 1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+ 1)-1/(n+2)] ?? 注:隔项相加保留四项,?#35789;?#20004;项,尾两项 。

        自己把式子 写在草稿纸上,那样看起来会很清爽以及整洁! 12■,●爆强△面积公式:S=1/2∣mq-np∣ 其中向量 AB=(m,n) ,向量 BC

        =(p,q)■注:这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题! 13■,●▲●你知道吗?空间立体?#36127;?#20013;:■以下命题均错■:1,空间中不同 三点确定一个平面;2,垂直同一直线的两直线平行 ;3,两组对边?#30452;?#30456;等的 四边形是平行四边形 ;4,如果一条直线与平面内无数条直线垂直,则直线垂直 平面 ;5,有两个面互相平?#26657;?#20854;余各面都是平行四边形的?#36127;?#20307;是棱柱;6, 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的?#36127;?#20307;都是棱锥 注:对初中生不适 用。

        14■,一个小知识点:■■■所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

        15■,求 f(x)?#24314;Ox-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣ (n 为正整数)的 最小值。

        答案为:当 n 为奇数,最小值为(n^2-1)/4,在 x=(n+1)/2 时 取到;当 n 为偶数时,最小值为 n^2/4,在 x=n/2 或 n/2 +1 ?#27604;〉健?/p>

        16■,√〔 (a^2+b^2) 〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b) (a、b 为正数, 是统一定义域) 17■,椭圆中焦点三角形面积公式:S=b^2tan(A/2)在双曲线中:S=b^2/tan(A/ 2) 说明:适用于焦点在 x 轴,且标准的圆锥曲线。

        A 为两焦半径夹角。

        18■, ■■■爆强定理:空间向量三公式解决所有题目:cosA=|{向量 a.向 量 b}/[向量 a 的模×向量 b 的模] |一:A 为线线夹角,二:A 为线面夹角(但 是公式中 cos 换成 sin)三:A 为面面夹角 ■注:以上角?#27573;?#22343;为[0,派/2]。

        19■,. ■■■爆强公式 1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6(n) (n+1) (2n+1) ; 1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4(n^2) (n+1)^2 20■,爆强■■■切线方程记忆方法:写成对称形式,换一个 x,换一个 y。

        举 例说明:对于 y^2=2px 可以写成 y×y=px+px 再把(xo,yo)带入其中一个 得:y×yo=pxo+px ★★ 21■, ■■■爆强定理: (a+b+c) 的展开式[合并之后]的项数为: ^n Cn+2 2 , n+2 在下,2 在上 22■,[转化思想] ■■■切线长 l?#20581;蹋╠^2-r^2) d 表示圆外一点到圆心得距 离 , r 为圆半径,而 d 最小为圆心到直线的距离。

        23■,对于 y^2=2px,过焦点的互相垂直的两弦 AB、CD,它们的和最小为 8p。

        爆强定理的证明:对于 y^2=2px,设过焦点的弦倾斜角为 A.那么弦长?#26432;?#31034;为 2p/〔 (sinA)^2〕 ,所以与之垂直的弦长为 2p/[(cosA)^2],所以求和再据三 角知识可知。

        (题目的意思就是弦 AB 过焦点,CD 过焦点,且 AB 垂直于 CD) 24■,关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强●■●:∣|a|-|b|∣≤∣a±b ∣≤∣a∣+∣b∣ 25■,关于解决证明含 ln 的不等式的一种思路:爆强■■■:举例说明:证明 1+1/2+1/3+…+1/n>ln n+1) 把左边看成是 1/n 求和, ( 右边看成是 Sn。

        解: 令 an=1/n , 令 Sn=ln(n+1) ,则 bn=ln(n+1)-lnn ,那么只需证 an > bn 即可,根据定积分知识画出 y=1/x 的图。

        an=1×1/n=矩形面积>曲线下面 积=bn。

        ?#27604;?#21069;面要证明 1>ln2。

        ■注:仅供有能力的童鞋参考! !另外对于 这?#22336;?#27861;可以推广, 就是把左边、 右边看成是数?#26143;?#21644;, 证面积大小即可。

        说明: 前提是含 ln 。

        26■,★★★爆强简洁公式?#21512;?#37327; a 在向量 b 上的射影是: 〔向量 a×向量 b 的 数量积〕/[向量 b 的模]。

        记忆方法:在哪投影除以哪个的模 27■, 说明一个易错点■■■:若 f(x+a)[a ?#25105;鈃为奇函数,那么得到的结论 是 f(x+a)=-f(-x+a) 等式右边不是-f(-x-a) , 〔 〕 同理如果 f(x+a)为偶函数,

        可得 f(x+a)=f(-x+a)牢记! 28■,离心率爆强公式:■■■ e=sinA/(sinM+sinN) 注:P 为椭圆上一点, 其中 A 为角 F1PF2,两腰角为 M,N 29■,椭圆的参数方程也是一个很好的东西,它可以解决一些最值问题。

        比如 x^2/4+y^2=1 求 z=x+y 的最值。

        解:令 x=2cosa y=sina 再利用三角有界 即可。

        比你去▲=0 不知道快多少倍! 30■, [仅供有能力的童鞋参考]]爆强公式:和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2]sin[(θφ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cos φ = -2 sin[( θ+ φ)/2] sin[( θ-φ )/2] ■积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin α cos β = [sin( α + β )+sin( α - β )]/2 cos α sin β = [sin( α + β)-sin(α-β)]/2 31■, ■■爆强定理:直观图的面积是原图的√2/4 倍。

        32■, ■■三角?#26410;?#24515;爆强定理:1,向量 OH=向量 OA+向量 OB+向量 OC (O 为三角形外心,H 为垂心) 2,若三角形的三个顶点都在函数 y=1/x 的图象上, 则它的垂心也在这个函数图象上。

        33■, 维维安尼定理●(不是很重要(仅供娱乐)) ,--正三角形内(或边界上) 任一点到三边的距离之和为定值,这定值等于该三角形的高。

        34■,■■爆强思路:如果出现两根之积 x1x2=m,两根之和 x1+x2=n,我们 应当形成一种思路,那就是返回去构造一个二次函数,再利用△大于等于 0,可 以得到 m、n ?#27573;А?/p>

        ● 35■,■■■常用结论:过(2p,0)的直线交抛物线 y^2=2px 于 A、B 两点。

        O 为原点,连接 AO.BO。

        必有角 AOB=90 度 36■, ■■■爆强公式:ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明 问题。

        举例说明:ln(1/(2^2)+1)+ln(1/(3^2)+1)+…+ln(1/(n^2)+1) <1 (n≥ 2) 证明如下:令 x=1/(n^2),根据 ln(x+1)≤x 有左右累和右边 再放缩得:左和<1-1/n<1 证?#24076;?37■, ■■函数 y=(sinx)/x 是偶函数。

        在(0,派)上它单调递减, (-派,0) 上单调递增。

        利用上述性质可以比较大小。

        38■,■■■函数 y=(lnx)/x 在(0,e)上单调递增,在(e,+无穷)上单调 递减。

        另外 y=x^(1/x)与该函数的单调性一致。

        39,■■■■■几个数学易错点:1,f`(x)<0 是函数在定义域内单调递减的充 分不必要条件;2,在研究函数奇?#22841;?#26102;,忽略最开始的也是最重要的一步:考 虑定义域是否关于原点对称! ;3,不等式的运用过程中,千万要考虑"="号是否 取到!4,研究数列问题不考虑分项,就是说有时第一项并不符合通项公式,所 以应当极度注意:数列问题一定要考虑是否需要分项! 40■,■■■■■提高计算能力五?#35282;?,扔掉计算器;2,仔细审题(提倡看 题慢,解题快) ,要知道没有看清楚题目,你算多少都没用! ;3,熟记常用数据, 掌握一些速算技巧;4,加强心算,估算能力;5,[检验]! 。

        41■, 一个美妙的公式…:■■■■爆强!已知三角形中 AB=a,AC=b,O 为 三角形的外心, 则向量 AO×向量 BC (即数量积) =(1/2)[b^2-a^2]强烈推荐! ★ 证明:过 O 作 BC 垂线,转化到已知边上 42■,①函数单调性的含义:大多数同学都知道若函数在区间 D 上单调,则函数

        值随?#25243;?#21464;量的增大(减小)而增大(减小) ,但有些意思可能有些人还不是很 清楚,若函数在 D 上单调,则函数必连续(分段函数另当别论)这也说明了为什 么不能说 y=tanx 在定义域内单调递增,因为它的图像被无穷多条渐近线挡住, 换而言之,不连续.还有,如果函数在 D 上单调,则函数在 D 上 y 与 x 一一对应. 这个可以用来解一些方程.至于例子不举了.②函数周期性: 这里主要总结一些函 数方程式所要表达的周期设 f (x) R 上的函数, 为 对?#25105;?x∈R (1)(a±x)=f(b f ± x) T= ( b-a ) ( 加 绝 对 值 , 下 同 )(2)f ( a ± x)=-f(b ± x) T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a(4)设 T≠0,有 f(x+T)=M[f(x)] 其中 M(x)满足 M[M(x)]=x,且 M(x)≠x 则函数的周期为 2 43■, ③奇偶函数概念的推广: (1) 对于函数 f (x) 若存在常数 a, , 使得 f (a-x) =f(a+x) ,则称 f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数,?#19994;?#26377;两个相异实数 a,b 满足 时,f(x)为周期函数 T=2(b-a)(2)若 f(a-x)=-f(a+x) ,则 f(x)是广 义 (Ⅰ) 型奇函数, 当有两个相异实数 a, 满足时, (x) b f 为周期函数 T=2 (b-a) (3)有两个实数 a,b 满足广义奇偶函数的方程式时,就称 f(x)是广义(Ⅱ) 型的奇,偶函数.且若 f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数,那么当 f 在[a+b/2,∞) 上为增函数时,有 f(x1)<f(x2)等价于绝对值 x1-(a+b/2)<绝对值 x2(a+b)/ 44■, ④函数对称性: (1) f 若 (x)满足 f (a+x) (b-x) 则函数关于 +f =c (a+b/2, c/2)成中心对称(2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线 x=a+b/2 成轴对称⑤柯西函数方程:若 f(x)连续或单调(1)若 f(xy)=f(x)+f(y) (x >0,y>0),则 f(x)=㏒ ax(2)若 f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0),则 f(x)=x^u(u 由初值给出) (3)f(x+y)=f(x)f(y) 则 f(x)=a^x(4)若 f(x+y)=f(x)+f(y) +kxy,则 f(x)=ax2+bx (5)若 f(x+y)+f(x-y)=2f(x),则 f(x)=ax+b 特别 的若 f(x)+f(y)=f(x+y) ,则 f(x)=kx 45■, 与三角形有关的定理或结论中学数学平面?#36127;?#26368;基本的?#22841;?#23601;是三角形① 正 切 定 理 ( 我 自 己 取 的 , 因 为 不 知 道 名 字 ): 在 非 Rt △ 中 , 有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC②?#25105;?#19977;角形射影定理(又称第一余弦定理) :在 △ABC 中 a=bcosC+ccosB; b=ccosA+acosC; c=acosB+bcosA③?#25105;?#19977;角形内 切圆半径 r=2S/a+b+c(S 为面积) ,外接圆半径应该都知道了吧④梅涅劳斯定理: 设 A1,B1,C1 ?#30452;?#26159;△ABC 三边 BC,CA,AB 所在直线的上的点,则 A1,B1,C1 共线的充要条件是 CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1 44, ■■■易错点:1,函数的各类性?#39318;?#21512;运用不灵活,比如奇?#22841;?#19982;单调性 常用来配合解决抽象函数不等式问题;2,三角函数恒等变换不清楚,诱导公式 不迅捷。

        45■,■■易错点:3,忽略三角函数中的有界性,三角形中角度的限定,比如 一个三角形中,不可能同?#32972;?#29616;两个角的正切值为负;4,三角的平移变换不清 晰,说明:由 y=sinx 变成 y=sinwx 的步骤是将横坐标变成原来的 1/∣w∣倍 46,■■易错点:5,数?#26143;?#21644;中,常常使用的错位相减总是?#20013;?#31639;错,规避方 法:在写第二步时,提出公差,括号内等比数?#26143;?#21644;,最后除掉系数;6,数列 中常用变形公式不清楚,如:an=1/[n(n+2)]的求和保留四项 47, ■■易错点: 数列未考虑 a1 是否符合根据 sn-sn-1 求得的通项公式; 7, 8, 数列并不是简单的全体实数函数, 即注意求导研究数列的最值问题过程中是否取 到问题 48,■■易错点:9,向量的运算不完全等价于代数运算;10,在求向量的模运

        算过程中平方之后,忘?#24378;健?/p>

        比如这种选择题中常常出现 2,√2 的答案…, 基本就是选√2,选 2 的就是因为没有开方;11,复数的?#36127;我?#20041;不清晰 49■,关于辅助角公式:asint+bcost=[√(a^2+b^2)]sin(t+m) 其中 tanm= b/a[条件:a>0] 说明:一些的同学习惯去考虑 sinm 或者 cosm 来确定 m,个人 觉得这样太容易出错最好的方法是根据 tanm 确定 m.(见上)。

        举例说明:sinx+ √3cosx=2sin(x+m),因为 tanm?#20581;?,所以 m=60 度,所以原式=2sin(x+60 度) 第二版:■■1:A、B 为椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上?#25105;?#20004;点。

        若 OA 垂直 OB, 则有 1/∣OA∣^2+1/∣OB∣^2=1/a^2+1/b^2 【真题精析】 例 1:(2009.河南)1×2×3+2×3X4+3×4×5+…+28×29×30=() A.188690B .188790C.188890D.188990 [ 答案] B [ 秒杀] 每一项都是三个连续 自然数的乘积,则结果一定能被 3 整除。

        分析选项,只有 B 符合。

        【真题精析】 例 l:(2004.山东)某次测验有 50 道判断题,每做对一题得 3 分, 不做或做错一题倒扣 1 分,某学生共得 82 分,问答对题数和答错题数(包括不 做)相差多少? A.33B 39C.17D.16 [ 答案] D [ 秒杀] 根据题意,答对的 题目数十答错的题目数一总题目数 50(偶数) ,故二者之差也应是偶数。

        分析选 项,只有 D 符合。

        【真题精析】 例 1: (2006.国考)一个三位数除以 9 余 7,除以 5 余 2,除以 4 余 3,这样的三位数共有: A . 5 个 B . 6 个 C . 7 个 D . 8 个 [ 答 案] A [ 秒杀] 周期为 4,5,9 的最小公倍数 9×5×4 =180。

        由于 1000÷ 180=5------100, 而满足条件的最小三位数一定大于 100, ?#20351;?#26377; 5 个数字。

        [ 解 析] 运用中国剩余定理,计算出最小的符合题意的数字为 187,而 4,5,6 的最 小公倍数为 180,则 187+180n<1000,有 5 个数字。

        【真题精析】 例 1:(2008.江西)A、B、C、D、E 这 5 个小组开展扑克比赛,每 两个小组之间都 要比赛一场,到现在为止,A 组已经比赛了 4 场,B 组已经比赛 3 场,C 组已经比赛了 2 场,D 组已经比赛了 1 场。

        问 E 组比了几场? A.0B.1 C. 3 [ 答案] C [ 秒杀] 将五位人的比赛关系用右图表示, 2D. 因此, C。

        [ 解 选 析] 显然 A 组与 B、C、D、E 都比赛了一场,则 D 组只能和 A 组比赛了一场,B 组只能和 A、C、E 各比赛一场,C 组只能和 A、B 各比赛一场,因此 D 组只和 A、 B 各比赛一场,答案为 C。

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